2005年01月25日

小さい数から予想されること

小数の強法則(Strong Law of Small Numbers)という、小さな数の範囲で起きる現象がそのまま全ての数にあてはまるとは限らない、という法則があります。1)2)
(元の表現では、"There aren't enough small numbers to meet the many demands made of them.")

例えば、1, 3, 5, 7 と、7以下の奇数を見て、奇数は全て1か素数である、と予想するのは明らかに間違いです(9は合成数)。

過去の偉大な数学者たちでも、小さな数の範囲から考えた予想が間違っていたことがあります。

■ フェルマーの例
フェルマーの最終定理で有名な数学者フェルマーは、Fn = 22n+1 は、素数になると予想しました。(Fn は、フェルマー数と呼ばれます。)
n=0,1,2,3,4 では、F0 = 3, F1 = 5, F2 =17, F3 = 257, F4 = 65537 は素数になります。
この後は、F5 = 4,294,967,297、F6 = 18,446,744,073,709,551,617, ... とすごい勢いでフェルマー数は大きくなりますが、フェルマーはこれらも素数であると考えました。
しかし、フェルマーの予想から約90年後、オイラーは、F5 = 4,294,967 が、641×6,700,417 と素因数分解されることを示しました。さらに、今のところF5 以降で素数であるフェルマー数は見つかっていません。

■ オイラーの例
オイラーは、n乗数は n個未満のn乗数の和では表すことが出来ない、という予想を立てました。
n=3の場合は、x3+y3=z3を満たす自然数x,y,z(≠0)が存在しない、という問題になり、このようなx,y,zは存在しないことが証明されています(フェルマーの最終定理の一部)。

オイラーは、nは4以上でも同様に、
x4+y4+z4=w4となる自然数x,y,z,w や、x5+y5+z5+w5=v5となる自然数x,y,z,w,v、(以下同様)が存在しないと考えました。

しかし、オイラーの予想から約200年後の1966年に、n=5 の場合に、 1445=275+845+1105+1335 という反例が見つかりました。
1988年には、n=4の場合でも、4224814=958004+2175194+4145604 という反例が発見されています。

これらの例は、小さな数の性質から全体を推測することの難しさを教えてくれます。

下に他の例をいくつか挙げてみました。

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posted by sushi at 01:59| Comment(0) | TrackBack(0) | 数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2005年01月23日

衛星タイタンに液体メタン

宇宙関連で大きなニュースが続きます。
前回土星の衛星タイタンの画像について書きましたが、探査機ホイヘンスから更に多くの情報が得られているようです。


タイタンの表面はまるで地球のように川や泉がある…但し、流れているのはメタンだ…
(中略)
マーティン・トマスコ博士は、「我々はタイタンの表面の地形がどんな形であるか、それを知るための鍵を握っている。地質学的にみて、雨が降ったり、浸食現象があったり、岩石が削られたりものが流れたりしたような跡などをみつけている。タイタンの地形を形作った物理的な過程は、地球上の過程と全く同じだといえよう。」と述べています。
- 地球のようなタイタンの地表 (2005年1月22日22:30) 月探査情報ステーション


また、タイタンには、かつて火山活動が起こっていたとの証拠が見つかったようですが、地球のような溶岩と違い、水の氷やアンモニアを吹き出しているようです。

タイタンの気温は-170℃、全く想像の付かない世界です。
さらに面白い発見があることを期待します。

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posted by sushi at 18:43| Comment(1) | TrackBack(0) | 宇宙 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2005年01月22日

火星探査機オポチュニティー、隕鉄を発見

火星の隕鉄
credit: NASA

火星探査機オポチュニティーが、火星表面で隕鉄を発見しました。
隕鉄とは鉄やニッケルが主成分である隕石のことです。
地球外惑星で隕石が発見されたのは初めてです。

火星探査車、隕鉄を発見 (アストロアーツ)
Opportunity Rover Finds an Iron Meteorite on Mars JPL, January 19, 2005

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posted by sushi at 22:24| Comment(4) | TrackBack(0) | 宇宙 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2005年01月17日

土星の衛星タイタンの画像

衛星タイタン

前回の記事で触れましたが、14日午後9時45分過ぎに探査機ホイヘンスが土星の衛星タイタンに着陸しました。

画像はタイタンの表面を撮影したものです。

Image
Credit: ESA, NASA, Descent Imager/Spectral Radiometer Team (LPL)



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posted by sushi at 01:36| Comment(3) | TrackBack(0) | 宇宙 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2005年01月14日

マックホルツ彗星+α

2005 January 11 の Astronomy Picture of the Dayで、
マックホルツ彗星とプレアデス星団の並んだ写真が公開されていました。

下のリンクからどうぞ。

http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap050111.html

宇宙関係では、他にも気になるニュースは沢山あったのですが、更新する時間がないので大きなニュースのみ簡単に紹介を。

■ ディープインパクトの打ち上げ
日本時間で1月13日午前3時47分にディープインパクト探査機が打ち上げられました。
ディープインパクトは、テンペル第1彗星の核に子機を当てて彗星の核の性質を調べるという試みです。

もちろんディープインパクトの名前は、水星が地球に衝突するというハリウッド映画からとったものです。
彗星探査機ディープインパクト打ち上げ NASA 朝日新聞
NASA:
テンペル第1すい星に向け、激突探査機打ち上げ
 毎日新聞
http://deepimpact.jpl.nasa.gov/ NASA
http://www.jpl.nasa.gov/news/news.cfm?release=2005-015 JPL


■ ホイヘンス、土星の衛星タイタンに着陸へ
日本時間で14日午後6時頃に探査機ホイヘンスが土星の衛星の一つであるタイタンに着陸する予定です。

衛星タイタンに着陸へ=土星軌道の探査機ホイヘンス YAHOO
http://saturn.jpl.nasa.gov/home/index.cfm JPL
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2005年01月11日

100年前の帝政ロシアのカラー写真

Prokudin-Gorskii

Prokudin-Gorskii氏の撮影した帝政ロシア時代の写真です。
驚くことに100年程前に撮影されたものです。(現在のようなカラー写真用の多層フィルムが発売されたのは1935年頃のようです。)

Prokudin-Gorskii氏は、赤、緑、青の三色のフィルターを使って同じ場所を3回撮りました。
フィルターに通した像を各色それぞれガラス版で撮影しています。
バラバラに見ると、3つとも白黒画像にしか見えませんが、
それぞれのガラスに対応する光を通して3つを合成し、スクリーンに映し出すことでカラーで鑑賞することが出来たそうです。

現在は、3色それぞれのガラス板のデジタル化したデータを元に、photoshop等の画像処理ソフトで合成することでスクリーンに投影するよりも鮮明な画像を得ることが可能になったようです。

彼の撮影した現存する写真は数千枚にも及ぶそうで、下のサイトから沢山の画像を見ることが出来ます。
特に一番上のサイトがお勧めですが、どれも不思議な透明感があり、美しい写真ばかりです。

* The Empire That Was Russia
* Digichromatography: Restoring Prokudin-Gorskii's Photographs
* About the Prokudin-Gorskii Collection
* Prokudin-Gorskii Images
* The Russian Record: The Work of Sergei Mikhailovich Prokudin-Gorskii
* wikipedia commons: Sergei Mikhailovich Prokudin-Gorskii

- ref
http://www.radiumsoftware.com/0306.html#030610 Radium Software Development

- via
http://d.hatena.ne.jp/munekata/20050106 はてなの杖日記

- image
This file has been released into the public domain by the copyright holder, its copyright has expired, or it is ineligible for copyright. (wikipedia commons)
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2005年01月07日

「マックホルツ彗星見えるかな?」キャンペーン

http://sushi.seesaa.net/article/1225597.html
以前に上の記事でお知らせした、国立天文台の「ふたご座流星群を眺めよう」キャンペーンに続き、「マックホルツ彗星見えるかな?」キャンペーンが行われます。

2005年1月7日から10日の夜に、肉眼や双眼鏡などですばるのそばに見えるマックホルツ彗星を観察し、このキャンペーンページから報告してください。「ふたご座流星群を眺めよう」キャンペーンと同じように、日本のどこで彗星が見えたかが、集計からわかるしくみです。携帯電話からでも参加できますので、今まで彗星を見たことがないという方もぜひチャレンジしてみてください。
- http://www.nao.ac.jp/pio/20050107machholz/index.html


マックホルツ彗星は、Don Machholzさんによって2004年8月27日に発見された彗星です。1月6日に最接近しています。現在は4等級ほどの明るさですので、環境によっては肉眼で見ることも出来ます。

現在マックホルツ彗星はおうし座に位置していますが、観測のコツについては、国立天文台やアストロアーツのサイトを参考にして下さい。

- 関連サイト
http://www.astroarts.co.jp/special/c2004q2-machholz/index-j.shtml
マックホルツ彗星(C/2004 Q2)を見よう(アストロアーツ)
http://www.astroarts.co.jp/gallery/comet/c2004q2/index-j.shtml マックホルツ彗星 投稿画像ギャラリー(アストロアーツ)

http://encke.jpl.nasa.gov/ Comet Observation Home Page(NASA)

http://ephemeris.sjaa.net/0410/b.html 発見者のDon Machholzさんのサイト
posted by sushi at 01:44| Comment(3) | TrackBack(1) | 宇宙 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2005年01月04日

Seventeen or bust

素数探索プロジェクトの"Seventeen or Bust"で新素数が発見されたようです。

28433 * 2^7830457 + 1 (2,357,207桁)

約236万桁の数で、素数であることが確定すると、知られている素数のうちで4番目に大きな素数になります。

現在まだPrime Pagesのstatusにはあがっていないようでした。

- reference
http://www.seventeenorbust.com/

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posted by sushi at 01:43| Comment(3) | TrackBack(0) | 数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2005年01月01日

素数で謹賀新年

あけましておめでとうございます。
今年も細々と更新していく予定ですのでよろしくおねがいします。

新年につき、20050101 * 2n + 1 の形の素数を探してみました。

n = 1 〜 300,000 の範囲を調べ、
The Prime Pages のTop5000に載ることができる桁の数は3つ発見出来ました。


20050101*2241644+1  72750桁
20050101*2254443+1  76603桁
20050101*2265760+1  80010桁


これより小さな数は下に。

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posted by sushi at 20:15| Comment(4) | TrackBack(0) | 数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

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