知られている最大の素数の記録更新

9月7日に書いた、44番目のメルセンヌ素数候補が素数であることが確認されました。

これによって、知られている最大の素数の記録が更新されました。
新たに発見された素数は、メルセンヌ数 2^32582657-1 で、9,808,358桁の数です。

なお、最初に1000万桁の素数発見者には、Electronic Frontier Foundationより、10万ドルの賞金が出るのですがそれには少し及びませんでした。
（Cooperative Computing Awards：賞金について）

- ref
・ 44th Mersenne Prime Discovered (GIMPS Home Page)

・ 2^32582657-1 (The Prime Pages)

44番目のメルセンヌ素数候補発見

メルセンヌ素数とは、2ⁿ-1 の形をした素数のことです。

知られている43番目のメルセンヌ素数は、2005年12月15日に発見された、2^30,402,457-1 （9,152,052桁）ですが、9月4日に44番目の候補が発見されたそうです。
現在検証作業中で一週間ほどかかるようです。

44th Known Mersenne Prime Probably Found!!

http://www.mersenne.org/prime.htm GIMPS

世界初、専用ハードウェアによる素因数分解実験に成功

情報通信研究機構と富士通研究所が、専用ハードウェアを開発し、128桁の合成数を2つの数に素因数分解することに成功したと発表しました。

分解対象となった数は、b^c±1のタイプの数を分解する Cunningham Project から未分解の423ビット(10進128桁)の数が選ばれたそうです。

128桁の数に1ヶ月を要したそうで、まだまだ速いとは言えませんが
これからの発展が期待されます。
（ggnfsというソフトウェアを使うと、一般的なPCで分解したとしても1ヶ月以内に分解できます。多分。）


- ref
http://pr.fujitsu.com/jp/news/2006/09/1-3.html 富士通 PRESS RELEASE

http://homes.cerias.purdue.edu/~ssw/cun/ The Cunningham Project

知られている最大のCullen素数の記録更新

知られている最大のCullen素数の記録が塗り替えられました。
Cullen素数とは、k*2^k+1 の形で表される素数です。

Cullen素数の出現頻度は低く、これまで13個しか知られていませんでした。
今回発見された14個目のCullen素数は、407850桁の数で、

1354828 * 2^1354828 + 1　(= 338707 * 2^1354830 + 1)
http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=75433

です。

ちなみに、k*2^k-1 の形で表される素数は、Woodall素数と呼ばれます。
現在知られている最大のWoodall素数は、
1195203 * 2^1195203 - 1 で、359799桁です。

- references
下のサイトで、Cullen素数、Woodall素数のTop20を見ることが出来ます。
http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=6 Cullen (The Prime Pages)
http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=7 Woodall Primes (The Prime Pages)

巨大素数

http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=75183 （そのうちリンクが切れると思います）

30077 × 2^10000000-1
これは、2005-07-26 に大きな素数のデータベースであるPrime Pagesに投稿された数です。
3010305桁という大きな数で、素数であればLargest Known Primes (Prime Pages)で5位にランクインすることができました。

これぐらいの大きな数になると素数かどうか調べるためには時間が相当かかってしまいます。そのため、現在分かっている大きな素数の多くは分散コンピューティング等のプロジェクトによって多くの人数やマシンを使って発見されています。
今回投稿されていた数はどのプロジェクトにも関係なく個人で投稿されていました。もし素数であれば、大快挙であり、検算の結果が注目されていました。

投稿された日から、同サイトにて本当に素数かどうかのチェックが行われていましたが、残念ながら2005-08-07 に合成数との結果が出てしまいました。

チェックには1036172.419 秒 ≒ 12日 という長い時間がかかっています。
今後のために、ソフトウェアあるいはハードウェアによる問題なのか、それとも人為的な問題なのか原因をはっきりさせてほしいところです。

- 参考
http://primes.utm.edu/primes/home.php The List of Largest Known Primes Home Page （ Chris Caldwell）

3月14日は円周率の日

3月14日は円周率の日（Pi day）です。
日本では、日本数学検定協会が「数学の日」として定めているようです。

π = 3. 1415926535 ... なので
3月14日1時59分27秒や3月14日15時9分27秒がもっとも円周率に近い時間になります。

この日にちなんで、3月14日PM1:59に数学科主催でパーティーを行う大学があるようです。
（"pi day university"などで検索すると沢山見つかります）

また、7月22日は 22/7 (= 3.1426...) が円周率の良い近似値であることから「円周率近似値の日（Pi Approximation Day）」だそうです。

- 関連

Pi day (Wikipedia)

Wikisourceより
円周率1,000桁
円周率10,000桁
円周率100,000桁
円周率約1,250,000桁

知られている最大の素数の記録更新

http://www.mersenne.org/prime.htm より

知られている最大の素数の記録が更新されました。

新たに発見された素数は、メルセンヌ数 2^25964951-1 で、7816230桁の数です。
メルセンヌ数とは、2ⁿ-1 の形をした数です。素数となるメルセンヌ数はこの発見で42個目になりました。
41番目に発見されたメルセンヌ素数は2^24036583-1で、7235733桁でした。

http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=73550

-
Largest Known Primes (Chris Caldwell)


（GIMPSの発表の適当な訳はこちら）

小さい数から予想されること

小数の強法則（Strong Law of Small Numbers）という、小さな数の範囲で起きる現象がそのまま全ての数にあてはまるとは限らない、という法則があります。¹⁾²⁾
（元の表現では、"There aren't enough small numbers to meet the many demands made of them."）

例えば、1, 3, 5, 7 と、7以下の奇数を見て、奇数は全て1か素数である、と予想するのは明らかに間違いです（9は合成数）。

過去の偉大な数学者たちでも、小さな数の範囲から考えた予想が間違っていたことがあります。

■ フェルマーの例
フェルマーの最終定理で有名な数学者フェルマーは、F_n = 2²ⁿ+1 は、素数になると予想しました。（F_n は、フェルマー数と呼ばれます。）
n=0,1,2,3,4 では、F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ =17, F₃ = 257, F₄ = 65537 は素数になります。
この後は、F₅ = 4,294,967,297、F₆ = 18,446,744,073,709,551,617, ... とすごい勢いでフェルマー数は大きくなりますが、フェルマーはこれらも素数であると考えました。
しかし、フェルマーの予想から約90年後、オイラーは、F₅ = 4,294,967 が、641×6,700,417 と素因数分解されることを示しました。さらに、今のところF₅ 以降で素数であるフェルマー数は見つかっていません。

■ オイラーの例
オイラーは、n乗数は n個未満のn乗数の和では表すことが出来ない、という予想を立てました。
n=3の場合は、x³+y³=z³を満たす自然数x,y,z(≠0)が存在しない、という問題になり、このようなx,y,zは存在しないことが証明されています（フェルマーの最終定理の一部）。

オイラーは、nは4以上でも同様に、
x⁴+y⁴+z⁴=w⁴となる自然数x,y,z,w や、x⁵+y⁵+z⁵+w⁵=v⁵となる自然数x,y,z,w,v、（以下同様）が存在しないと考えました。

しかし、オイラーの予想から約200年後の1966年に、n=5 の場合に、 144⁵=27⁵+84⁵+110⁵+133⁵ という反例が見つかりました。
1988年には、n=4の場合でも、422481⁴=95800⁴+217519⁴+414560⁴ という反例が発見されています。

これらの例は、小さな数の性質から全体を推測することの難しさを教えてくれます。

下に他の例をいくつか挙げてみました。

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Seventeen or bust

素数探索プロジェクトの"Seventeen or Bust"で新素数が発見されたようです。

28433 * 2^7830457 + 1 (2,357,207桁)

約236万桁の数で、素数であることが確定すると、知られている素数のうちで4番目に大きな素数になります。

現在まだPrime Pagesのstatusにはあがっていないようでした。

- reference
http://www.seventeenorbust.com/

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素数で謹賀新年

あけましておめでとうございます。
今年も細々と更新していく予定ですのでよろしくおねがいします。

新年につき、20050101 * 2ⁿ + 1 の形の素数を探してみました。

n = 1 〜 300,000 の範囲を調べ、
The Prime Pages のTop5000に載ることができる桁の数は3つ発見出来ました。

20050101*2²⁴¹⁶⁴⁴+1　　72750桁
20050101*2²⁵⁴⁴⁴³+1　　76603桁
20050101*2²⁶⁵⁷⁶⁰+1　　80010桁

これより小さな数は下に。

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Merry X'mas 12/25

クリスマスということで、1225という数について。

1225 には、平方数であり、3角数でもあるという性質があります。

（平方数とは、ある整数を2乗した数です。4角形の形で表すことが出来るため、4角数とも呼ばれます。
3角数は、3角形の形で表される数です。1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4 ,...　として求めることが出来ます。一般的には、1/2 * n(n+1)と表せます。）

　　　■　　　　　　　■　■　■　■
　　■　■　　　　　　■　■　■　■
　■　■　■　　　　　■　■　■　■
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　　3角数　　　　　　4角数（平方数）

つまり、1225は、
1225 = 35² = 1 + 2 + 3 + ... + 49　(= 1/2 * 49 * 50)
と、書くことが出来ます。

-（追記: Firefoxで書いたのですが、IEだとずれてますね…。そのうち直すかも。）

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π < 22/7 の証明

円周率 π の良い近似値として、古くから 22/7 が知られていました。
アルキメデスは、正96角形の面積を計算することで、
223/71 < π < 22/7 ( 3.14084... < π < 3.14285... )
を求めています。

22/7 ≒ 3.142857...
π ≒ 3.14159...

π < 22/7 で有ることの面白い証明がwikipediaに有りました。
（良い近似値であることの証明ではありませんが）

A simple proof that 22/7 exceeds π. (wikipedia)
証明はこちらからどうぞ。

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100桁の数の13乗根の暗算で世界記録

ドイツ人のコンピューター科学者、ゲルト・ミットリングさん（３８）が２３日、同国ギーセンにある数学博物館で、１００けたの数字の「１３乗根」を、１１．８０秒ではじき出す暗算の世界記録を更新した。同博物館が２４日発表した。

http://www.cnn.co.jp/science/CNN200411250020.html
１００けた数字、１３乗根の暗算で世界記録、１１．８０秒 (CNN.co.jp)


ある数の13乗根とは、13回掛け合わせるとある数になるような数のことです。

選ばれた数は
70664373816742861022340088302401573757042331707026
32731269721516000395709065419973141914549389684111
で、この数の13乗根は 47941071 です。

計算と言うよりも特殊な方法を用いているのでしょうが、
13乗根を12秒以内で導き出すとはものすごいですね。

ただし、ギネスブックでは、現在13乗根の計算の記録は扱っていません。
他の世界記録を扱っているサイトでも、今のところ新記録といえるかはわかりません。

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幾何図形描画ソフト Eukleides

http://perso.wanadoo.fr/obrecht/

Eukleidesを試してみました。
Eukleidesは、初等幾何図形を簡単に書くことが出来るソフトです。

Windows版のインストールについて、簡単にメモしておきます。

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